一文看懂向量vector

什麼是向量?

向量主要有2個維度:大小、方向。

大小:箭頭的長度表示大小

方向:箭頭所指的方向表示方向

向量有大小和方向2個維度

向量的3種表達方式

代數表示

一般印刷用黑體的小寫英文字母(abc等)來表示,手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭(→)表示,如

向量的代數表示

 

幾何表示

向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小,向量的大小,也就是向量的長度。

向量的幾何表示

 

坐標表示

在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量ij作為一組基底。a為平面直角坐標系內的任意向量,以坐標原點O為起點P為終點作向量a。由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(x,y),使得a=xi+yj,因此把實數對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y)。這就是向量a的坐標表示。其中(x,y)就是點 P 的坐標。向量a稱為點P的位置向量。

向量的坐標表示

在空間直角坐標系中,分別取與x軸、y軸,z軸方向相同的3個單位向量ijk作為一組基底。若為該坐標系內的任意向量,以坐標原點O為起點作向量a。由空間基本定理知,有且只有一組實數(x,y,z),使得a=ix+jy+kz,因此把實數對(x,y,z)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y,z)。這就是向量a的坐標表示。其中(x,y,z),就是點P的坐標。向量a稱為點P的位置向量。

當然,對於多維的空間向量,可以通過類推得到。

向量的矩陣表示

向量的矩陣表示

 

標量、向量、矩陣、張量的關係

這4個概念是維度不斷上升的,我們用點線面體的概念來比喻解釋會更加容易理解:

  • 點——標量(scalar
  • 線——向量(vector)
  • 面——矩陣(matrix
  • 體——張量(tensor)

標量、向量、矩陣、張量的關係

感興趣的可以通過下面的內容了解詳情:

一文看懂標量

一文看懂向量

一文看懂矩陣

一文看懂張量

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百度百科和維基百科

百度百科版本

在數學中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指:代表向量的方向;線段長度:代表向量的大小。與向量對應的量叫做數量(物理學中稱標量),數量(或標量)只有大小,沒有方向。

向量的記法:印刷體記作黑體(粗體)的字母(如a、b、u、v),書寫時在字母頂上加一小箭頭「→」。 如果給定向量的起點(A)和終點(B),可將向量記作AB(並於頂上加→)。在空間直角坐標系中,也能把向量以數對形式表示,例如xOy平面中(2,3)是一向量。

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維基百科版本

向量空間(也稱為線性空間)是稱為對象的集合的載體,其可被添加在一起,並乘以由數字(「縮放」),所謂的標量。標量通常被認為是實數,但是也存在標量乘以複數,有理數或通常任何字段的向量空間。向量加法和標量乘法的運算必須滿足下面列出的某些要求,稱為公理。

歐幾里德向量是向量空間的一個例子。它們代表物理量,諸如力:任何兩個力(同一類型的)可被添加,以產生第三和的相乘力矢量由一實數乘法器是另一個力矢量。同樣,但在更幾何意義上,表示平面或三維空間中的位移的矢量也形成矢量空間。向量空間中的向量不一定必須是箭頭狀對象,因為它們出現在上述示例中:向量被視為具有特定屬性的抽象數學對象,在某些情況下可以將其視為箭頭。

向量空間是線性代數的主題,並且通過它們的維度很好地表徵,粗略地說,它指定了空間中獨立方向的數量。無限維向量空間在數學分析中自然出現,作為函數空間,其向量是函數。這些向量空間通常具有附加結構,其可以是拓撲結構,允許考慮接近度和連續性問題。在這些拓撲中,由規範或內積定義的拓撲更常用,因為它具有距離概念兩個向量之間。特別是Banach空間和Hilbert空間的情況,這是數學分析的基礎。

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